Zenón de Elea la razón te lía (con un poema)

Zenón de Elea, discípulo y amante de Parménides, quiso probar que su maestro y amado tenía razón en que la multiplicidad y el cambio son ilusiones:

No hay muchas cosas:

Si hubiera muchas cosas deberían ser finitas o infinitas. Pero no pueden ser ni una cosa ni la otra.

• a) Si el conjunto de todas las cosas es un número determinado, finito, siempre podemos crear un conjunto mayor con la conbinación de esos elementos (este es el teorema matemático que dice que el conjunto-Potencia de un conjunto A es mayor que el conjunto A)
• b) Si el conjunto de todas las cosas es un número indeterminado, infinito, entonces la mitad de todo es igual de grande que el todo (este es el teorema matemático de que, en los números reales, la parte no es menor que el todo).

Las cosas no se mueven

Si las cosas se movieran realmente tendrían que hacerlo o bien por un espacio continuo e infinitamente divisible, o bien por un espacio hecho de puntos discretos e indivisibles. Pero no puede ser ni lo uno ni lo otro:

• a) Si la distancia entre dos cosas es infinitamente divisible, entre cada una de las fracciones de esa distancia hay el mismo infinito, y es imposible recorrer una distancia infinita, así que nadie, aunque sea Aquiles, puede moverse de su sitio, cuánto menos alcanzar siquiera a una tortuga.
• b) Si la distancia entre dos cosas está constituida de puntos finitos, esos puntos tendrán que tener extensión nula (pues, si no, serían divisibles), y la nada que hay entre ellos tiene que ser también de extensión nula. Pero una suma de puntos y espacios de extensión nula no pueden dar distancia alguna.

Esto que puede expresarse tan matemáticamente, también se puede decir en forma de diálogo (como podéis leer aquí y aquí) e incluso poéticamente, como he intentado hacer con estos versos, y os invito a hacer por vuestros mismos:

Sentí que me llamaba tu silencio,

y todo, alrededor, se evaporaba

Estábamos tú y yo, y, alrededor,

espacio, espacio en blanco, plena nada,

medida con la vara del deseo,

contado con los pies de la esperanza.

Me puse a caminar, con pie ligero,

a varios infinitos por zancada,

“¡espera, tortuguita, ya te alcanzo!”,

mientras tú navegabas tu ventaja.

Muy pronto… (¿fue muy pronto, o era tarde?

No sé, porque el reloj perdió sus marcas):

con tiempo te alcancé hasta la mitad

de la distancia de nuestra distancia.

Y tú allí lejos, sin embargo, tú,

mi complemento allí, tú, en lontananza…

Entonces empecé a alcanzar la idea,

caí en la cuenta, entonces, de que estabas

allí donde jamás te alcanzaría

de que la cuenta nunca se acababa

Y comprendí, los dos ahí comprendimos

que ya, por mucho que yo te abrazara,

nunca estaríamos juntos siendo cuerpos,

siempre un abismo entre dos pieles pasa.

¡Quizá si entre nosotros dos hubiera

más cosas, con su vértices y caras,

en las que irse apoyando hasta tenernos

y hacer presente la pasión lejana!

Pero tú y yo, mi tortu, solo somos

una cruel paradoja zenoniana!

Zenón de Elea la razón te lía (primera entrega)

Zenón, discípulo, amigo y, al parecer, amante en su juventud de Parménides, elucubró unos razonamientos muy "simples" para demostrar que es absurdo que haya muchas cosas y que exista el movimiento. Se me ocurrió recrearlos en forma de diálogo. Aquí tenéis la primera parte.

(Diálogo entre Zenón de Elea y un paisano suyo)

Paisano de Elea.- Oye, Zenón, ¿te pillo bien?

Zenón.- Sí, estoy sentado y no tengo escapatoria.

P.- Dime, por favor, algunos de esos tan inteligentes razonamientos un poco absurdos tuyos.

Z.- Vale, pero no son tan inteligentes ni un poco absurdos, son sólo absolutamente absurdos, o sea, totalmente inteligentes.

P.- Bueno, pues uno de esos.

Z.- Te preguntaré dos cosas, ¿te parece bien? ¿O te parecen muchas?

P.- No, dos no son muchas.

Z.- Está bien. Pues dime, la primera, cuántas cosas crees que hay en realidad. Y después, dime cuánto es de grande cada cosa.

P.- ¿Cuántas cosas hay? Muchas. Ya en mi salón creo que hay demasiadas, no te digo nada si hablamos de Elea entera o de toda Grecia. Muchas.

Z.- O sea, que no crees que haya ni una sola ni ninguna.

P.- Claro que no. Tú mismo me has preguntado ya dos cosas.

Z.- Muy bien dicho. Entonces, dime: esas muchas cosas que existen según tú ¿son en número infinito o finito? Quiero decir, ¿se podría alguna vez acabar de contarlas, o no?

P.- Ahí ya me pones en un apuro.

Z.- ¿No te parece que tienen que ser cuantas son, ni más ni menos?

P.- Claro.

Z.- Y eso tiene que ser una cantidad determinada, ¿no? Aunque ni tú ni yo podamos contarlas, tienen que ser una cantidad fija, no pueden ser una cantidad indefinida...

P.- Sí, parece sensato.

Z.- Pues piensa ahora lo siguiente. Supongamos que haya tres cosas, para abreviar.

P.- Por ejemplo, yo y mis dos perros.

Z.- Por ejemplo. Entonces te pregunto. ¿no habrá otra cosa que será tu cabeza? ¿Y los hocicos de tus
perros, y, en fin, todas las partes de esas tres cosas?

P.- ¿Y las partes de cosas son cosas?

Z.- Dímelo tú.

P.- Yo creo que sí, la verdad.

Z.- ¿Y las partes de las partes, son cosas o no?

P.- Sí, claro, por la misma regla.

Z.- Así que parece que habrá una infinidad de cosas.

P.- Salvo que haya cosas, Zenón, que no tengan partes más pequeñas que ellas mismas.

Z.- Muy bien. Y ¿crees que podrías contar una cosa que no se pudiera partir?

P.- ¿Por qué no?

Z.- Porque una cosa que no se puede partir, creo yo, no ocupa nada ni es nada.

P.- Puede ser.

Z.- Piénsalo además de otra manera. Si hay tres cosas, hay siete, ¿no?

P.- ¿¡Cómo!?

Z.- Supón que haya estas tres, a, b y c. Entonces hay también la combinación de a y b, llamémosla, ab, y la de a y c, o sea, ac, y bc, y abc.

P.- Bueno, pero eso son otro tipo de cosas.

Z.- Ya, pero cuando yo te he preguntado por la cantidad de cosas que crees que hay, no te he pedido que distingas en tipos. Todos los tipos valen si hablamos de cantidad de cosas.

P.- Vale, hay siete.

Z.- ¿Siete? ¿Es que no sabes contar? ¿O no piensas contar a la combinación de a y ab, o sea, a(ab), y las demás combinaciones de las siete cosas?

P.- Ya veo a dónde vas. Entonces nunca podremos parar así tampoco.

Z.- Así es. Creo que en el siglo XIX después de cierto Mesías vivirá un matemático alemán que demostrará de esa forma que nunca puede darse un conjunto que lo contenga todo, porque siempre el conjunto de todos los conjuntos que puedes hacer con los elementos de un conjunto dado, A digamos, es mayor que el propio A.

P.- Entonces ¿las cosas que hay son en número infinito?

Z.- Si tú puedes digerir eso…

P.- ¿Qué problema le ves, Zenón?

Z.- Hombre, dicen que la mitad de infinito es tan grande como infinito. La milmillonésima parte de infinito es igual de grande que el infinito…

P.- Todos los infinitos son iguales, claro.

Z.- Bueno, según ese matemático del que te he hablado, un tal Jorge Cantor, no es así, sino que hay unos infinitos más grandes que otros. Por ejemplo, el infinito de los números que resultan de una división sin resultado exacto, los Reales, como los llaman los matemáticos, tiene por lo menos un número que no está en la fila de los que llaman números naturales. Pero creo que con el infinito más pequeño tenemos ya bastante para inventar esos razonamientos absurdos inteligentes que vienes buscando.

P.- Tienes razón.

Z.- A mí el infinito no me parece una cantidad. No hay manera de partirlo en cachos más pequeños. Si te pones a caminar hacia el infinito, por mucho que andes estarás siempre a la misma distancia. Así que…

P.- ¡Menudo lío!

Z.- A eso venías, ¿no? ¿Estás ya satisfecho? Resumiendo, parece a la vez que, si hay muchas cosas, como dices tú (y aunque sean pocas), deben ser una cantidad finita e infinita, pero las dos opciones parecen absurdas.

P.- ¿Entonces, tú que piensas?

Z.- Puede que no hay ninguna, o que haya una sola cosa.

P.- ¿Eso te parece más lógico?

Z.- Que no haya ninguna, no me lo parece, la verdad.

P.- Claro, ya estás tú mismo, que eres una cosa, para desmentirlo.

Z.- No por eso, Calias. No me gusta razonar así.

P.- ¿Por qué?

Z.- Porque eso no es un razonamiento, sino un hecho, que estamos viendo. Y lo que nos estamos preguntando es si es lógico, no si nos parece que lo experimentamos, ¿entiendes?

P.- Creo que sí. ¿Entonces, que crees que es lógico?

Z.- Ninguna, no me parece. Porque, si hubiese ninguna, ya habría una, la nada o conjunto vacío.

P.- Pero el conjunto vacío no existe.

Z.- Pues para no existir está muy ocupado. ¿No sabes que estamos metiendo cosas en él continuamente? ¡Todo lo que no cabe en ningún otro! Fíjate, incluso, en que un lógico más o menos contemporáneo del matemático que te mencioné, definirá los números diciendo que el Uno es el conjunto que tiene como elemento al conjunto vacío, el Dos el que tiene como elementos al Uno y, por tanto, al Vacío, y así.

P.- Entonces ¿crees que hay una sola cosa?

Z.- Eso decía siempre mi maestro, el sapientísimo Parménides. Pero esa es una verdad, como también él decía, incomprensible para nosotros, los mortales. Sólo la diosa puede comprender que todo es uno y lo mismo, y que las diferencias son aparentes, porque en verdad el no-ser es nada, nada de nada, y sin el no-ser no podemos distinguir ni siquiera dos seres.

P.- Y ¿cómo dices que no podemos comprender lo que dice Parménides? A mí me acaba de parecer que lo he entendido, aunque me parece tan increíble que, como no me invites a un trago de esa buena cerveza que tienes en tu bodega…

Z.- Pues, aunque es muy lógico, también tiene su lado absurdo. Fíjate. Basta con que intente decirlo o pensarlo, que todo es uno, basta que lo diga o piense, te digo, para que me contradiga, porque la frase “todos es uno” (o “es uno”, si quieres acortarla) ya es más de uno, ya tiene por lo menos dos cosas, el ‘es’, y el ‘uno’. ¿Te das cuenta?

P.- Me doy.

Z.- Así que las cosas son muchas, infinitas, finitas, una y ninguna, y, a la vez, no son ni una ni muchas ni ninguna ni infinitas. ¿Me quieres decir ahora cuánto mide cada una?

P.- Eso lo dejamos para mañana, si no te parece mal. Por hoy, ya tengo bastante con una: al fin y al cabo, es como si me llevara infinitas ideas, o más bien ninguna, porque me has dejado la inteligencia más pelada que la cabeza de un etíope.

Z.- De acuerdo, mañana lo hablaremos. Ahora tómate conmigo una de esas cervezas que dices que tengo.

Ver también esta otra entrada sobre Parménides y esta entrada sobre Zenón de Elea

Zenón de Elea la razón te lía, II

(Diálogo entre Zenón de Elea y un paisano suyo más un amigo de tal paisano -continuación de la entrada anterior-)

Paisano de Elea.- Zenón, he traído a un amigo, ¿te parece bien?
Zenón.- Claro. A lo mejor sumando cabezas pensemos más.
Amigo de P.- Lo importante es pensar mejor, no más.
Z.- Bien dicho. Bueno, en lo que habíamos quedado es en pensar cuánto de grande es cada cosa. ¿Quién de los dos lo sabe?
Amigo.- Cuánto es de grande cada cosa dependerá de con qué la compares.
Z.- ¿Estás seguro? Puede ser. Quieres decir, si te interpreto bien…
Amigo.- Yo te digo lo que quiero decir: quiero decir que mi cabeza es grande comparada con mi puño, pero es pequeña comparada con al cabeza de Calias.

Z.- Tienes razón. Además, tu puño, por lo que veo, es más grande que esa piedrecita de ahí, la cual, a su vez, es más grande que una pulga, y creo que las pulgas son más grandes que los piojos. ¿El piojo es sólo más pequeño que los demás, o es más grande que algo o alguien? ¿Qué decís? ¿Hay algunas cosas que sean ya pequeñas en sí, no por comparación? ¿Y quizás otras que sean grandes en sí, no más pequeñas que nadie o nada?
P.- Eso ya lo hablamos ayer tú y yo, Zenón. Luego me acordé que tengo oído que un filósofo de Abdera, un tal Demócrito, dice que hay átomos, o sea, cosas indivisibles, de las cuales están hechas todas las demás cosas. Supongo que esos átomos son más pequeños que los piojos.
Z.- Es de temer. Y ¿has oído también cuánto ocupan esos átomos?
P.- No.
Z.- Pues escúchalo dentro de tu cabeza. ¿Pueden ocupar algo y ser, sin embargo, indivisibles?
Amigo de P.- ¡Claro que sí! No se pueden destruir o partir, pero tienen su propio tamaño.
Z.- Pero ¿por qué no se pueden partir? ¿Será porque no tenemos el cuchillo lo suficientemente fuerte, o porque son completamente indivisibles, hasta para la mente?
A.- ¿Qué problema hay en que sean indivisibles hasta con la mente?
Z.- Para mis entendederas hay el problema de que una cosa que no se pueda dividir ni con la mente tiene que medir exactamente nada.
A.- Y, si fuese así ¿qué?
Z.- Pues que si una cosa mide nada no es que sea pequeña, ni grande. Cualquier cosa que midiera algo, por poco que fuese, mediría infinitamente más que ella. ¿Cómo podríamos compararlas, entonces, en tamaño?

P.- Zenón, supongamos que no son indivisibles con la mente, sino sólo muy requetepequeñas.
Z.- Sí, pero infinitamente grandes ya.
A.- ¿Por qué?
Z.- Porque, si tienen algún tamaño, no veo manera en que no las podamos partir con la mente en infinitas partes.
P.- Es verdad, ya lo habíamos dicho.
Z.- Así que las cosas son a la vez tan pequeñas que no son nada, y tan grandes que son infinitas. Eso le pasará a todo lo que pueda ser más grande o más pequeño, como el espacio, o el tiempo.
P.- Por eso dices otras veces que no podemos movernos…
Z.- Claro. Me pregunto una y otra vez cuánto ocupa el espacio que va de mí a ti. Unos me dicen que hay infinitos puntos entre tú y yo. Pero entonces no entiendo cómo podemos siquiera movernos, si el más mínimo paso me hará atravesar un infinito. Entonces el otro suele decirme que no hay infinitos pasos, sino una cantidad determinada. Entonces me pregunto cuánto ocupa cada punto, y qué hay entre punto y punto. Y no sé salir de que cada punto, para ser indivisible, tiene que medir nada, y que lo que haya entre punto y punto no puede ser más que nada. Y no entiendo que sumando muchas nadas obtengamos un algo.

A.- Zenón, ¿a dónde quieres llegar con estos razonamientos?
Z.- ¿A dónde crees que quiero llegar, sino a la verdad?
A.- Mira, he venido con Calias a oírte, porque había escuchado que sabes hacer estos juegos de palabras, propias de gente ociosa. Sin embargo, otras personas inteligentes se ocupan en descubrir cómo se mueven los astros, o los animales. Y obtienen resultados de provecho, no conclusiones sin salida como las tuyas.
Z.- Amigo, me alegra mucho que conozcas gente sabia. Y si ellos te han enseñado en qué consiste el movimiento, o en qué consiste el espacio o la cantidad, te agradecería infinitamente que me lo comunicases. Así yo dejaría de hacerme preguntas inútiles.
A.- Pues claro que saben lo que es el movimiento y el espacio, porque son físicos y matemáticos. Y saben que la distancia entre tú y yo, por ejemplo, aunque sea siempre divisible, como te gusta decir a ti, es también un metro, porque resulta que una suma infinitas de trozos del espacio, como, por ejemplo, un medio más un cuarto más un octavo, etc, da justamente uno. Así que tu absurdo Aquiles puede llegar tranquilamente a la meta antes de que la tortuga haya aprendido tus inteligentísimos razonamientos.
Z.- ¿Así que una suma de infinitos trozos de espacio da uno? ¿”Un” qué?
A.- ¿Qué estás preguntando?
Z.- Pregunto que qué unidad es esa de la que hablan tus físicos y matemáticos. Tenía entendido que la unidad, la verdadera unidad, no puede tener partes. ¿O esa unidad, sin partes, no existe, pero sí existen las unidades que se pueden partir en infinitas?

A.- No entiendo bien lo que preguntas, pero no quiero que me líes otra vez. Lo que podrías entender es que una cosa es decir que todo es potencialmente divisible, o sea, que siempre podrías hacer un corte más pequeño, y otra cosa es decir que esos infinitos fragmentos existen realmente, hechos ahora.

Z.- ¡Bonita distinción haces tú! O sea, que el espacio podría seguirse partiendo siempre pero no tiene infinitas partes. Amigo, no estamos hablando de si podemos partirlo tú o yo, que somos mortales. Imagínate a un dios: él tiene que ver toda la división del espacio, si la hay. ¿Qué crees que verá?

A.- ¿Ahora metes a los dioses? ¡Lo que nos faltaba! Mira, Zenón, no tengo tiempo que perder. Voy a aprender algo útil. (se va)

P.- Lo siento, Zenón. No sabía que éste era tan mal educado. Si lo llego a saber no le invito a que viniese. Me decía que tenía mucho interés en conocerte.

Z.- Sí. Y tiene un gran afán de saber la verdad, no lo dudes. Pero está incapacitado para la filosofía, al menos por ahora. Quizás eso sea una suerte para él…
P.- No lo creo, Zenón. Ni creo que vaya a dejar de darle vueltas cuando esté sólo. De hecho no calla. Pero dime a mí, por las buenas, ¿qué crees tú que demuestran tus inteligentes razonamientos completamente absurdos?
Z.- Pues, Calias, creo que demuestran una de dos: o que la realidad es completamente ilógica, o que no es como la vemos y nos la imaginamos ni se la imaginan los físicos y los matemáticos.
P.- Y ¿cómo es entonces?
Z.- De una manera que no se puede expresar y pensar sin parecer que caes en el absurdo. Bueno, te dejo, que he quedado con unos amigos.
P.- Muy bien, hasta pronto.
Z.- No, Calias, no sé si hasta pronto o hasta nunca… ¿No sabes que también el tiempo tiene a la vez infinitas partes y ninguna?

Se cuenta que Zenón fue detenido por participar en una conspiración para derrocar al tirano que había tomado el poder en la ciudad. El tirano le ordenó que delatase a los otros conspiradores y Zenón, entonces, se mordió la lengua con tanta fuerza que se la cortó, y después se la escupió al tirano. Un filósofo español, Agustín García Calvo (el de la foto -el que está sentado-), imagina una interpretación “simbólica” de esta leyenda. El tirano podría ser la Ciencia de la Realidad establecida, que nos intenta gobernar a todos e imponernos las leyes únicas. Zenón, el conspirador, sería quien ataca a ese tirano de la realidad de la ciencia: alguien que denuncia las contradicciones de lo que suponemos real. ¿Qué significaría arrancarse la lengua…? (Claro que otras versiones dicen que Zenón le pidió al tirano que se acercase para decirle al oído el nombre de sus cómplices y, cuando el tirano se acercó, Zenón le arrancó la oreja de un mordisco. Entonces un soldado del tirano mató a Zenón de una lanzada.

Zenón de Elea la razón te lía, I

Zenón, discípulo, amigo y, al parecer, amante en su juventud de Parménides, elucubró unos razonamientos muy "simples" para demostrar que es absurdo que haya muchas cosas y que exista el movimiento. Se me ocurrió recrearlos en forma de diálogo. Aquí tenéis la primera parte.

(Diálogo entre Zenón de Elea y un paisano suyo)

Paisano de Elea.- Oye, Zenón, ¿te pillo bien?
Zenón.- Sí, estoy sentado y no tengo escapatoria.
P.- Dime, por favor, algunos de esos tan inteligentes razonamientos un poco absurdos tuyos.

Z.- Vale, pero no son tan inteligentes ni un poco absurdos, son sólo absolutamente absurdos, o sea, totalmente inteligentes.
P.- Bueno, pues uno de esos.
Z.- Te preguntaré dos cosas, ¿te parece bien? ¿O te parecen muchas?
P.- No, dos no son muchas.
Z.- Está bien. Pues dime, la primera, cuántas cosas crees que hay en realidad. Y después, dime cuánto es de grande cada cosa.

P.- ¿Cuántas cosas hay? Muchas. Ya en mi salón creo que hay demasiadas, no te digo nada si hablamos de Elea entera o de toda Grecia. Muchas.
Z.- O sea, que no crees que haya ni una sola ni ninguna.
P.- Claro que no. Tú mismo me has preguntado ya dos cosas.
Z.- Muy bien dicho. Entonces, dime: esas muchas cosas que existen según tú ¿son en número infinito o finito? Quiero decir, ¿se podría alguna vez acabar de contarlas, o no?
P.- Ahí ya me pones en un apuro.
Z.- ¿No te parece que tienen que ser cuantas son, ni más ni menos?
P.- Claro.
Z.- Y eso tiene que ser una cantidad determinada, ¿no? Aunque ni tú ni yo podamos contarlas, tienen que ser una cantidad fija, no pueden ser una cantidad indefinida...
P.- Sí, parece sensato.
Z.- Pues piensa ahora lo siguiente. Supongamos que haya tres cosas, para abreviar.
P.- Por ejemplo, yo y mis dos perros.
Z.- Por ejemplo. Entonces te pregunto. ¿no habrá otra cosa que será tu cabeza? ¿Y los hocicos de tus perros, y, en fin, todas las partes de esas tres cosas?
P.- ¿Y las partes de cosas son cosas?
Z.- Dímelo tú.
P.- Yo creo que sí, la verdad.
Z.- ¿Y las partes de las partes, son cosas o no?
P.- Sí, claro, por la misma regla.
Z.- Así que parece que habrá una infinidad de cosas.
P.- Salvo que haya cosas, Zenón, que no tengan partes más pequeñas que ellas mismas.
Z.- Muy bien. Y ¿crees que podrías contar una cosa que no se pudiera partir?
P.- ¿Por qué no?
Z.- Porque una cosa que no se puede partir, creo yo, no ocupa nada ni es nada.
P.- Puede ser.

Z.- Piénsalo además de otra manera. Si hay tres cosas, hay siete, ¿no?
P.- ¿¡Cómo!?
Z.- Supón que haya estas tres, a, b y c. Entonces hay también la combinación de a y b, llamémosla, ab, y la de a y c, o sea, ac, y bc, y abc.
P.- Bueno, pero eso son otro tipo de cosas.
Z.- Ya, pero cuando yo te he preguntado por la cantidad de cosas que crees que hay, no te he pedido que distingas en tipos. Todos los tipos valen si hablamos de cantidad de cosas.
P.- Vale, hay siete.
Z.- ¿Siete? ¿Es que no sabes contar? ¿O no piensas contar a la combinación de a y ab, o sea, a(ab), y las demás combinaciones de las siete cosas?
P.- Ya veo a dónde vas. Entonces nunca podremos parar así tampoco.

Z.- Así es. Creo que en el siglo XIX vivirá un matemático alemán que demostrará de esa forma que nunca puede darse un conjunto que lo contenga todo, porque siempre el conjunto de todos los conjuntos que puedes hacer con los elementos de un conjunto dado, A digamos, es mayor que el propio A.
P.- Entonces ¿las cosas que hay son en número infinito?
Z.- Si tú puedes digerir eso…
P.- ¿Qué problema le ves, Zenón?
Z.- Hombre, dicen que la mitad de infinito es tan grande como infinito. La milmillonésima parte de infinito es igual de grande que el infinito…
P.- Todos los infinitos son iguales, claro.

Z.- Bueno, según ese matemático del que te he hablado, un tal Jorge Cantor, no es así, sino que hay unos infinitos más grandes que otros. Por ejemplo, el infinito de los números que resultan de una división sin resultado exacto, los Reales, como los llaman los matemáticos, tiene por lo menos un número que no está en la fila de los que llaman números naturales. Pero creo que con el infinito más pequeño tenemos ya bastante para inventar esos razonamientos absurdos inteligentes que vienes buscando.
P.- Tienes razón.
Z.- A mí el infinito no me parece una cantidad. No hay manera de partirlo en cachos más pequeños. Si te pones a caminar hacia el infinito, por mucho que andes estarás siempre a la misma distancia. Así que…
P.- ¡Menudo lío!
Z.- A eso venías, ¿no? ¿Estás ya satisfecho? Resumiendo, parece a la vez que, si hay muchas cosas, como dices tú (y aunque sean pocas), deben ser una cantidad finita e infinita, pero las dos opciones parecen absurdas.

P.- ¿Entonces, tú que piensas?
Z.- Puede que no hay ninguna, o que haya una sola cosa.
P.- ¿Eso te parece más lógico?
Z.- Que no haya ninguna, no me lo parece, la verdad.
P.- Claro, ya estás tú mismo, que eres una cosa, para desmentirlo.
Z.- No por eso, Calias. No me gusta razonar así.
P.- ¿Por qué?
Z.- Porque eso no es un razonamiento, sino un hecho, que estamos viendo. Y lo que nos estamos preguntando es si es lógico, no si nos parece que lo experimentamos, ¿entiendes?
P.- Creo que sí. ¿Entonces, que crees que es lógico?
Z.- Ninguna, no me parece. Porque, si hubiese ninguna, ya habría una, la nada o conjunto vacío.

P.- Pero el conjunto vacío no existe.
Z.- Pues para no existir está muy ocupado. ¿No sabes que estamos metiendo cosas en él continuamente? ¡Todo lo que no cabe en ningún otro! Fíjate, incluso, en que un lógico más o menos contemporáneo del matemático que te mencioné, definirá los números diciendo que el Uno es el conjunto que tiene como elemento al conjunto vacío, el Dos el que tiene como elementos al Uno y, por tanto, al Vacío, y así.

P.- Entonces ¿crees que hay una sola cosa?
Z.- Eso decía siempre mi maestro, el sapientísimo Parménides. Pero esa es una verdad, como también él decía, incomprensible para nosotros, los mortales. Sólo la diosa puede comprender que todo es uno y lo mismo, y que las diferencias son aparentes, porque en verdad el no-ser es nada, nada de nada, y sin el no-ser no podemos distinguir ni siquiera dos seres.
P.- Y ¿cómo dices que no podemos comprender lo que dice Parménides? A mí me acaba de parecer que lo he entendido, aunque me parece tan increíble que, como no me invites a un trago de esa buena cerveza que tienes en tu bodega…
Z.- Pues, aunque es muy lógico, también tiene su lado absurdo. Fíjate. Basta con que intente decirlo o pensarlo, que todo es uno, basta que lo diga o piense, te digo, para que me contradiga, porque la frase “todos es uno” (o “es uno”, si quieres acortarla) ya es más de uno, ya tiene por lo menos dos cosas, el ‘es’, y el ‘uno’. ¿Te das cuenta?
P.- Me doy.

Z.- Así que las cosas son muchas, infinitas, finitas, una y ninguna, y, a la vez, no son ni una ni muchas ni ninguna ni infinitas. ¿Me quieres decir ahora cuánto mide cada una?
P.- Eso lo dejamos para mañana, si no te parece mal. Por hoy, ya tengo bastante con una: al fin y al cabo, es como si me llevara infinitas ideas, o más bien ninguna, porque me has dejado la inteligencia más pelada que la cabeza de un etíope.
Z.- De acuerdo, mañana lo hablaremos. Ahora tómate conmigo una de esas cervezas que dices que tengo.

Ver también esta otra entrada sobre Parménides y esta entrada sobre Zenón de Elea

Zenón de Elea la razón te lía, II

(Diálogo entre Zenón de Elea y un paisano suyo más un amigo de tal paisano -continuación de la entrada anterior-)

Paisano de Elea.- Zenón, he traído a un amigo, ¿te parece bien?
Zenón.- Claro. A lo mejor sumando cabezas pensemos más.
Amigo de P.- Lo importante es pensar mejor, no más.
Z.- Bien dicho. Bueno, en lo que habíamos quedado es en pensar cuánto de grande es cada cosa. ¿Quién de los dos lo sabe?
Amigo.- Cuánto es de grande cada cosa dependerá de con qué la compares.
Z.- ¿Estás seguro? Puede ser. Quieres decir, si te interpreto bien…
Amigo.- Yo te digo lo que quiero decir: quiero decir que mi cabeza es grande comparada con mi puño, pero es pequeña comparada con al cabeza de Calias.

Z.- Tienes razón. Además, tu puño, por lo que veo, es más grande que esa piedrecita de ahí, la cual, a su vez, es más grande que una pulga, y creo que las pulgas son más grandes que los piojos. ¿El piojo es sólo más pequeño que los demás, o es más grande que algo o alguien? ¿Qué decís? ¿Hay algunas cosas que sean ya pequeñas en sí, no por comparación? ¿Y quizás otras que sean grandes en sí, no más pequeñas que nadie o nada?
P.- Eso ya lo hablamos ayer tú y yo, Zenón. Luego me acordé que tengo oído que un filósofo de Abdera, un tal Demócrito, dice que hay átomos, o sea, cosas indivisibles, de las cuales están hechas todas las demás cosas. Supongo que esos átomos son más pequeños que los piojos.
Z.- Es de temer. Y ¿has oído también cuánto ocupan esos átomos?
P.- No.
Z.- Pues escúchalo dentro de tu cabeza. ¿Pueden ocupar algo y ser, sin embargo, indivisibles?
Amigo de P.- ¡Claro que sí! No se pueden destruir o partir, pero tienen su propio tamaño.
Z.- Pero ¿por qué no se pueden partir? ¿Será porque no tenemos el cuchillo lo suficientemente fuerte, o porque son completamente indivisibles, hasta para la mente?
A.- ¿Qué problema hay en que sean indivisibles hasta con la mente?
Z.- Para mis entendederas hay el problema de que una cosa que no se pueda dividir ni con la mente tiene que medir exactamente nada.
A.- Y, si fuese así ¿qué?
Z.- Pues que si una cosa mide nada no es que sea pequeña, ni grande. Cualquier cosa que midiera algo, por poco que fuese, mediría infinitamente más que ella. ¿Cómo podríamos compararlas, entonces, en tamaño?

P.- Zenón, supongamos que no son indivisibles con la mente, sino sólo muy requetepequeñas.
Z.- Sí, pero infinitamente grandes ya.
A.- ¿Por qué?
Z.- Porque, si tienen algún tamaño, no veo manera en que no las podamos partir con la mente en infinitas partes.
P.- Es verdad, ya lo habíamos dicho.
Z.- Así que las cosas son a la vez tan pequeñas que no son nada, y tan grandes que son infinitas. Eso le pasará a todo lo que pueda ser más grande o más pequeño, como el espacio, o el tiempo.
P.- Por eso dices otras veces que no podemos movernos…
Z.- Claro. Me pregunto una y otra vez cuánto ocupa el espacio que va de mí a ti. Unos me dicen que hay infinitos puntos entre tú y yo. Pero entonces no entiendo cómo podemos siquiera movernos, si el más mínimo paso me hará atravesar un infinito. Entonces el otro suele decirme que no hay infinitos pasos, sino una cantidad determinada. Entonces me pregunto cuánto ocupa cada punto, y qué hay entre punto y punto. Y no sé salir de que cada punto, para ser indivisible, tiene que medir nada, y que lo que haya entre punto y punto no puede ser más que nada. Y no entiendo que sumando muchas nadas obtengamos un algo.

A.- Zenón, ¿a dónde quieres llegar con estos razonamientos?
Z.- ¿A dónde crees que quiero llegar, sino a la verdad?
A.- Mira, he venido con Calias a oírte, porque había escuchado que sabes hacer estos juegos de palabras, propias de gente ociosa. Sin embargo, otras personas inteligentes se ocupan en descubrir cómo se mueven los astros, o los animales. Y obtienen resultados de provecho, no conclusiones sin salida como las tuyas.
Z.- Amigo, me alegra mucho que conozcas gente sabia. Y si ellos te han enseñado en qué consiste el movimiento, o en qué consiste el espacio o la cantidad, te agradecería infinitamente que me lo comunicases. Así yo dejaría de hacerme preguntas inútiles.
A.- Pues claro que saben lo que es el movimiento y el espacio, porque son físicos y matemáticos. Y saben que la distancia entre tú y yo, por ejemplo, aunque sea siempre divisible, como te gusta decir a ti, es también un metro, porque resulta que una suma infinitas de trozos del espacio, como, por ejemplo, un medio más un cuarto más un octavo, etc, da justamente uno. Así que tu absurdo Aquiles puede llegar tranquilamente a la meta antes de que la tortuga haya aprendido tus inteligentísimos razonamientos.
Z.- ¿Así que una suma de infinitos trozos de espacio da uno? ¿”Un” qué?
A.- ¿Qué estás preguntando?
Z.- Pregunto que qué unidad es esa de la que hablan tus físicos y matemáticos. Tenía entendido que la unidad, la verdadera unidad, no puede tener partes. ¿O esa unidad, sin partes, no existe, pero sí existen las unidades que se pueden partir en infinitas?

A.- No entiendo bien lo que preguntas, pero no quiero que me líes otra vez. Lo que podrías entender es que una cosa es decir que todo es potencialmente divisible, o sea, que siempre podrías hacer un corte más pequeño, y otra cosa es decir que esos infinitos fragmentos existen realmente, hechos ahora.

Z.- ¡Bonita distinción haces tú! O sea, que el espacio podría seguirse partiendo siempre pero no tiene infinitas partes. Amigo, no estamos hablando de si podemos partirlo tú o yo, que somos mortales. Imagínate a un dios: él tiene que ver toda la división del espacio, si la hay. ¿Qué crees que verá?

A.- ¿Ahora metes a los dioses? ¡Lo que nos faltaba! Mira, Zenón, no tengo tiempo que perder. Voy a aprender algo útil. (se va)

P.- Lo siento, Zenón. No sabía que éste era tan mal educado. Si lo llego a saber no le invito a que viniese. Me decía que tenía mucho interés en conocerte.

Z.- Sí. Y tiene un gran afán de saber la verdad, no lo dudes. Pero está incapacitado para la filosofía, al menos por ahora. Quizás eso sea una suerte para él…
P.- No lo creo, Zenón. Ni creo que vaya a dejar de darle vueltas cuando esté sólo. De hecho no calla. Pero dime a mí, por las buenas, ¿qué crees tú que demuestran tus inteligentes razonamientos completamente absurdos?
Z.- Pues, Calias, creo que demuestran una de dos: o que la realidad es completamente ilógica, o que no es como la vemos y nos la imaginamos ni se la imaginan los físicos y los matemáticos.
P.- Y ¿cómo es entonces?
Z.- De una manera que no se puede expresar y pensar sin parecer que caes en el absurdo. Bueno, te dejo, que he quedado con unos amigos.
P.- Muy bien, hasta pronto.
Z.- No, Calias, no sé si hasta pronto o hasta nunca… ¿No sabes que también el tiempo tiene a la vez infinitas partes y ninguna?

Se cuenta que Zenón fue detenido por participar en una conspiración para derrocar al tirano que había tomado el poder en la ciudad. El tirano le ordenó que delatase a los otros conspiradores y Zenón, entonces, se mordió la lengua con tanta fuerza que se la cortó, y después se la escupió al tirano. Un filósofo español, Agustín García Calvo (el de la foto -el que está sentado-), imagina una interpretación “simbólica” de esta leyenda. El tirano podría ser la Ciencia de la Realidad establecida, que nos intenta gobernar a todos e imponernos las leyes únicas. Zenón, el conspirador, sería quien ataca a ese tirano de la realidad de la ciencia: alguien que denuncia las contradicciones de lo que suponemos real. ¿Qué significaría arrancarse la lengua…? (Claro que otras versiones dicen que Zenón le pidió al tirano que se acercase para decirle al oído el nombre de sus cómplices y, cuando el tirano se acercó, Zenón le arrancó la oreja de un mordisco. Entonces un soldado del tirano mató a Zenón de una lanzada.

Zenón de Elea la razón te lía, I

(Diálogo entre Zenón de Elea y un paisano suyo.)

Paisano de Elea.- Oye, Zenón, ¿te pillo bien?
Zenón.- Sí, estoy sentado y no tengo escapatoria.
P.- Dime, por favor, algunos de esos tan inteligentes razonamientos un poco absurdos tuyos.

Z.- Vale, pero no son tan inteligentes ni un poco absurdos, son sólo absolutamente absurdos, o sea, totalmente inteligentes.
P.- Bueno, pues uno de esos.
Z.- Te preguntaré dos cosas, ¿te parece bien? ¿O te parecen muchas?
P.- No, dos no son muchas.
Z.- Está bien. Pues dime, la primera, cuántas cosas crees que hay en realidad. Y después, dime cuánto es de grande cada cosa.

P.- ¿Cuántas cosas hay? Muchas. Ya en mi salón creo que hay demasiadas, no te digo nada si hablamos de Elea entera o de toda Grecia. Muchas.
Z.- O sea, que no crees que haya ni una sola ni ninguna.
P.- Claro que no. Tú mismo me has preguntado ya dos cosas.
Z.- Muy bien dicho. Entonces, dime, esas muchas cosas que existen según tú ¿son en número infinito o finito? Quiero decir, ¿se podría alguna vez acabarlas de contar, o no?
P.- Ahí ya me pones en un apuro.
Z.- ¿No te parece que tienen que ser cuantas son, ni más ni menos?
P.- Claro.
Z.- Y eso tiene que ser una cantidad determinada, ¿no? Aunque ni tú ni yo podamos contarlas, tienen que ser una cantidad fija.
P.- Sí, parece sensato.
Z.- Pues piensa ahora lo siguiente. Supongamos que haya tres cosas, para abreviar.
P.- Por ejemplo, yo y mis dos perros.
Z.- Por ejemplo. Entonces te pregunto. ¿no habrá otra cosa que será tu cabeza? ¿Y los hocicos de tus perros, y, en fin, todas las partes de esas tres cosas?
P.- ¿Y las partes de cosas son cosas?
Z.- Dímelo tú.
P.- Yo creo que sí, la verdad.
Z.- ¿Y las partes de las partes, son cosas o no?
P.- Sí, claro, por la misma regla.
Z.- Así que parece que habrá una infinidad de cosas.
P.- Salvo que haya cosas, Zenón, que no tengan partes más pequeñas que ellas mismas.
Z.- Muy bien. Y ¿crees que podrías contar una cosa que no se pudiera partir?
P.- ¿Por qué no?
Z.- Porque una cosa que no se puede partir, creo yo, no ocupa nada ni es nada.
P.- Puede ser.

Z.- Piénsalo además de otra manera. Si hay tres cosas, hay siete, ¿no?
P.- ¿¡Cómo!?
Z.- Supón que haya estas tres, a, b y c. Entonces hay también la combinación de a y b, llamémosla, ab, y la de a y c, o sea, ac, y bc, y abc.
P.- Bueno, pero eso son otro tipo de cosas.
Z.- Ya, pero cuando yo te he preguntado por la cantidad de cosas que crees que hay, no te he pedido que distingas en tipos. Todos los tipos valen si hablamos de cantidad de cosas.
P.- Vale, hay siete.
Z.- ¿Siete? ¿Es que no sabes contar? ¿O no piensas contar a la combinación de a y ab, o sea, a(ab), y las demás combinaciones de las siete cosas?
P.- Ya veo a dónde vas. Entonces nunca podremos parar así tampoco.

Z.- Así es. Creo que en el siglo XIX vivirá un matemático alemán que demostrará de esa forma que nunca puede darse un conjunto que lo contenga todo, porque siempre el conjunto de todos los conjuntos que puedes hacer con los elementos de un conjunto dado, A digamos, es mayor que el propio A.
P.- Entonces ¿las cosas que hay son en número infinito?
Z.- Si tú puedes digerir eso…
P.- ¿Qué problema le ves, Zenón?
Z.- Hombre, dicen que la mitad de infinito es tan grande como infinito. La milmillonésima parte de infinito es igual de grande que el infinito…
P.- Todos los infinitos son iguales, claro.

Z.- Bueno, según ese matemático del que te he hablado, un tal Jorge Cantor, no es así, sino que hay unos infinitos más grandes que otros. Por ejemplo, el infinito de los números que resultan de una división sin resultado exacto, los Reales, como los llaman los matemáticos, tiene por lo menos un número que no está en la fila de los que llaman números naturales. Pero creo que con el infinito más pequeño tenemos ya bastante para inventar esos razonamientos absurdos inteligentes que vienes buscando.
P.- Tienes razón.
Z.- A mí el infinito no me parece una cantidad. No hay manera de partirlo en cachos más pequeños. Si te pones a caminar hacia el infinito, por mucho que andes estarás siempre a la misma distancia. Así que…
P.- ¡Menudo lío!
Z.- A eso venías, ¿no? ¿Estás ya satisfecho? Resumiendo, parece a la vez que, si hay muchas cosas, como dices tú (y aunque sean pocas), deben ser una cantidad finita e infinita, pero las dos opciones parecen absurdas.

P.- ¿Entonces, tú que piensas?
Z.- Puede que no hay ninguna, o que haya una sola cosa.
P.- ¿Eso te parece más lógico?
Z.- Que no haya ninguna, no me lo parece, la verdad.
P.- Claro, ya estás tú mismo, que eres una cosa, para desmentirlo.
Z.- No por eso, Calias. No me gusta razonar así.
P.- ¿Por qué?
Z.- Porque eso no es un razonamiento, sino un hecho, que estamos viendo. Y lo que nos estamos preguntando es si es lógico, no si nos parece que lo experimentamos, ¿entiendes?
P.- Creo que sí. ¿Entonces, que crees que es lógico?
Z.- Ninguna, no me parece. Porque, si hubiese ninguna, ya habría una, la nada o conjunto vacío.

P.- Pero el conjunto vacío no existe.
Z.- Pues para no existir está muy ocupado. ¿No sabes que estamos metiendo cosas en él continuamente? ¡Todo lo que no cabe en ningún otro! Fíjate, incluso, en que un lógico más o menos contemporáneo del matemático que te mencioné, definirá los números diciendo que el Uno es el conjunto que tiene como elemento al conjunto vacío, el Dos el que tiene como elementos al Uno y, por tanto, al Vacío, y así.

P.- Entonces ¿crees que hay una sola cosa?
Z.- Eso decía siempre mi maestro, el sapientísimo Parménides. Pero esa es una verdad, como también él decía, incomprensible para nosotros, los mortales. Sólo la diosa puede comprender que todo es uno y lo mismo, y que las diferencias son aparentes, porque en verdad el no-ser es nada, nada de nada, y sin el no-ser no podemos distinguir ni siquiera dos seres.
P.- Y ¿cómo dices que no podemos comprender lo que dice Parménides? A mí me acaba de parecer que lo he entendido, aunque me parece tan increíble que, como no me invites a un trago de esa buena cerveza que tienes en tu bodega…
Z.- Pues, aunque es muy lógico, también tiene su lado absurdo. Fíjate. Basta con que intente decirlo o pensarlo, que todo es uno, basta que lo diga o piense, te digo, para que me contradiga, porque la frase “todos es uno” (o “es uno”, si quieres acortarla) ya es más de uno, ya tiene por lo menos dos cosas, el ‘es’, y el ‘uno’. ¿Te das cuenta?
P.- Me doy.

Z.- Así que las cosas son muchas, infinitas, finitas, una y ninguna, y, a la vez, no son ni una ni muchas ni ninguna ni infinitas. ¿Me quieres decir ahora cuánto mide cada una?
P.- Eso lo dejamos para mañana, si no te parece mal. Por hoy, ya tengo bastante con una: al fin y al cabo, es como si me llevara infinitas ideas, o más bien ninguna, porque me has dejado la inteligencia más pelada que la cabeza de un etíope.
Z.- De acuerdo, mañana lo hablaremos. Ahora tómate conmigo una de esas cervezas que dices que tengo.

Ver también esta otra entrada sobre Parménides y esta entrada sobre Zenón de Elea

Zenón de Elea la Razón te lía. II

(Diálogo entre Zenón de Elea y un paisano suyo más un amigo de tal paisano -continuación de éste-)

Paisano de Elea.- Zenón, he traído a un amigo, ¿te parece bien?
Zenón.- Claro. A lo mejor sumando cabezas pensemos más.
Amigo de P.- Lo importante es pensar mejor, no más.
Z.- Bien dicho. Bueno, en lo que habíamos quedado es en pensar cuánto de grande es cada cosa. ¿Quién de los dos lo sabe?
Amigo.- Cuánto es de grande cada cosa dependerá de con qué la compares.
Z.- ¿Estás seguro? Puede ser. Quieres decir, si te interpreto bien…
Amigo.- Yo te digo lo que quiero decir: quiero decir que mi cabeza es grande comparada con mi puño, pero es pequeña comparada con al cabeza de Calias.

Z.- Tienes razón. Además, tu puño, por lo que veo, es más grande que esa piedrecita de ahí, la cual, a su vez, es más grande que una pulga, y creo que las pulgas son más grandes que los piojos. ¿El piojo es sólo más pequeño que los demás, o es más grande que algo o alguien? ¿Qué decís? ¿Hay algunas cosas que sean ya pequeñas en sí, no por comparación? ¿Y quizás otras que sean grandes en sí, no más pequeñas que nadie o nada?
P.- Eso ya lo hablamos ayer tú y yo, Zenón. Luego me acordé que tengo oído que un filósofo de Abdera, un tal Demócrito, dice que hay átomos, o sea, cosas indivisibles, de las cuales están hechas todas las demás cosas. Supongo que esos átomos son más pequeños que los piojos.
Z.- Es de temer. Y ¿has oído también cuánto ocupan esos átomos?
P.- No.
Z.- Pues escúchalo dentro de tu cabeza. ¿Pueden ocupar algo y ser, sin embargo, indivisibles?
Amigo de P.- ¡Claro que sí! No se pueden destruir o partir, pero tienen su propio tamaño.
Z.- Pero ¿por qué no se pueden partir? ¿Será porque no tenemos el cuchillo lo suficientemente fuerte, o porque son completamente indivisibles, hasta para la mente?
A.- ¿Qué problema hay en que sean indivisibles hasta con la mente?
Z.- Para mis entendederas hay el problema de que una cosa que no se pueda dividir ni con la mente tiene que medir exactamente nada.
A.- Y, si fuese así ¿qué?
Z.- Pues que si una cosa mide nada no es que sea pequeña, ni grande. Cualquier cosa que midiera algo, por poco que fuese, mediría infinitamente más que ella. ¿Cómo podríamos compararlas, entonces, en tamaño?

P.- Zenón, supongamos que no son indivisibles con la mente, sino sólo muy requetepequeñas.
Z.- Sí, pero infinitamente grandes ya.
A.- ¿Por qué?
Z.- Porque, si tienen algún tamaño, no veo manera en que no las podamos partir con la mente en infinitas partes.
P.- Es verdad, ya lo habíamos dicho.
Z.- Así que las cosas son a la vez tan pequeñas que no son nada, y tan grandes que son infinitas. Eso le pasará a todo lo que pueda ser más grande o más pequeño, como el espacio, o el tiempo.
P.- Por eso dices otras veces que no podemos movernos…
Z.- Claro. Me pregunto una y otra vez cuánto ocupa el espacio que va de mí a ti. Unos me dicen que hay infinitos puntos entre tú y yo. Pero entonces no entiendo cómo podemos siquiera movernos, si el más mínimo paso me hará atravesar un infinito. Entonces el otro suele decirme que no hay infinitos pasos, sino una cantidad determinada. Entonces me pregunto cuánto ocupa cada punto, y qué hay entre punto y punto. Y no sé salir de que cada punto, para ser indivisible, tiene que medir nada, y que lo que haya entre punto y punto no puede ser más que nada. Y no entiendo que sumando muchas nadas obtengamos un algo.

A.- Zenón, ¿a dónde quieres llegar con estos razonamientos?
Z.- ¿A dónde crees que quiero llegar, sino a la verdad?
A.- Mira, he venido con Calias a oírte, porque había escuchado que sabes hacer estos juegos de palabras, propias de gente ociosa. Sin embargo, otras personas inteligentes se ocupan en descubrir cómo se mueven los astros, o los animales. Y obtienen resultados de provecho, no conclusiones sin salida como las tuyas.
Z.- Amigo, me alegra mucho que conozcas gente sabia. Y si ellos te han enseñado en qué consiste el movimiento, o en qué consiste el espacio o la cantidad, te agradecería infinitamente que me lo comunicases. Así yo dejaría de hacerme preguntas inútiles.
A.- Pues claro que saben lo que es el movimiento y el espacio, porque son físicos y matemáticos. Y saben que la distancia entre tú y yo, por ejemplo, aunque sea siempre divisible, como te gusta decir a ti, es también un metro, porque resulta que una suma infinitas de trozos del espacio, como, por ejemplo, un medio más un cuarto más un octavo, etc, da justamente uno. Así que tu absurdo Aquiles puede llegar tranquilamente a la meta antes de que la tortuga haya aprendido tus inteligentísimos razonamientos.
Z.- ¿Así que una suma de infinitos trozos de espacio da uno? ¿”Un” qué?
A.- ¿Qué estás preguntando?
Z.- Pregunto que qué unidad es esa de la que hablan tus físicos y matemáticos. Tenía entendido que la unidad, la verdadera unidad, no puede tener partes. ¿O esa unidad, sin partes, no existe, pero sí existen las unidades que se pueden partir en infinitas?

A.- No entiendo bien lo que preguntas, pero no quiero que me líes otra vez. Lo que podrías entender es que una cosa es decir que todo es potencialmente divisible, o sea, que siempre podrías hacer un corte más pequeño, y otra cosa es decir que esos infinitos fragmentos existen realmente, hechos ahora.

Z.- ¡Bonita distinción haces tú! O sea, que el espacio podría seguirse partiendo siempre pero no tiene infinitas partes. Amigo, no estamos hablando de si podemos partirlo tú o yo, que somos mortales. Imagínate a un dios: él tiene que ver toda la división del espacio, si la hay. ¿Qué crees que verá?

A.- ¿Ahora metes a los dioses? ¡Lo que nos faltaba! Mira, Zenón, no tengo tiempo que perder. Voy a aprender algo útil. (se va)

P.- Lo siento, Zenón. No sabía que éste era tan mal educado. Si lo llego a saber no le invito a que viniese. Me decía que tenía mucho interés en conocerte.

Z.- Sí. Y tiene un gran afán de saber la verdad, no lo dudes. Pero está incapacitado para la filosofía, al menos por ahora. Quizás eso sea una suerte para él…
P.- No lo creo, Zenón. Ni creo que vaya a dejar de darle vueltas cuando esté sólo. De hecho no calla. Pero dime a mí, por las buenas, ¿qué crees tú que demuestran tus inteligentes razonamientos completamente absurdos?
Z.- Pues, Calias, creo que demuestran una de dos: o que la realidad es completamente ilógica, o que no es como la vemos y nos la imaginamos ni se la imaginan los físicos y los matemáticos.
P.- Y ¿cómo es entonces?
Z.- De una manera que no se puede expresar y pensar sin parecer que caes en el absurdo. Bueno, te dejo, que he quedado con unos amigos.
P.- Muy bien, hasta pronto.
Z.- No, Calias, no sé si hasta pronto o hasta nunca… ¿No sabes que también el tiempo tiene a la vez infinitas partes y ninguna?

Se cuenta que Zenón fue detenido por participar en una conspiración para derrocar al tirano que había tomado el poder en la ciudad. El tirano le ordenó que delatase a los otros conspiradores y Zenón, entonces, se mordió la lengua con tanta fuerza que se la cortó, y después se la escupió al tirano. Un filósofo español, Agustín García Calvo (el de la foto -el que está sentado-), imagina una interpretación “simbólica” de esta leyenda. El tirano podría ser la Ciencia de la Realidad establecida, que nos intenta gobernar a todos e imponernos las leyes únicas. Zenón, el conspirador, sería quien ataca a ese tirano de la realidad de la ciencia: alguien que denuncia las contradicciones de lo que suponemos real. ¿Qué significaría arrancarse la lengua…? (Claro que otras versiones dicen que Zenón le pidió al tirano que se acercase para decirle al oído el nombre de sus cómplices y, cuando el tirano se acercó, Zenón le arrancó la oreja de un mordisco. Entonces un soldado del tirano mató a Zenón de una lanzada.

Zenón de Elea la razón te lía. I

(Diálogo entre Zenón de Elea y un paisano suyo.)

Paisano de Elea.- Oye, Zenón, ¿te pillo bien?
Zenón.- Sí, estoy sentado y no tengo escapatoria.
P.- Dime, por favor, algunos de esos tan inteligentes razonamientos un poco absurdos tuyos.

Z.- Vale, pero no son tan inteligentes ni un poco absurdos, son sólo absolutamente absurdos, o sea, totalmente inteligentes.
P.- Bueno, pues uno de esos.
Z.- Te preguntaré dos cosas, ¿te parece bien? ¿O te parecen muchas?
P.- No, dos no son muchas.
Z.- Está bien. Pues dime, la primera, cuántas cosas crees que hay en realidad. Y después, dime cuánto es de grande cada cosa.

P.- ¿Cuántas cosas hay? Muchas. Ya en mi salón creo que hay demasiadas, no te digo nada si hablamos de Elea entera o de toda Grecia. Muchas.
Z.- O sea, que no crees que haya ni una sola ni ninguna.
P.- Claro que no. Tú mismo me has preguntado ya dos cosas.
Z.- Muy bien dicho. Entonces, dime, esas muchas cosas que existen según tú ¿son en número infinito o finito? Quiero decir, ¿se podría alguna vez acabarlas de contar, o no?
P.- Ahí ya me pones en un apuro.
Z.- ¿No te parece que tienen que ser cuantas son, ni más ni menos?
P.- Claro.
Z.- Y eso tiene que ser una cantidad determinada, ¿no? Aunque ni tú ni yo podamos contarlas, tienen que ser una cantidad fija.
P.- Sí, parece sensato.
Z.- Pues piensa ahora lo siguiente. Supongamos que haya tres cosas, para abreviar.
P.- Por ejemplo, yo y mis dos perros.
Z.- Por ejemplo. Entonces te pregunto. ¿no habrá otra cosa que será tu cabeza? ¿Y los hocicos de tus perros, y, en fin, todas las partes de esas tres cosas?
P.- ¿Y las partes de cosas son cosas?
Z.- Dímelo tú.
P.- Yo creo que sí, la verdad.
Z.- ¿Y las partes de las partes, son cosas o no?
P.- Sí, claro, por la misma regla.
Z.- Así que parece que habrá una infinidad de cosas.
P.- Salvo que haya cosas, Zenón, que no tengan partes más pequeñas que ellas mismas.
Z.- Muy bien. Y ¿crees que podrías contar una cosa que no se pudiera partir?
P.- ¿Por qué no?
Z.- Porque una cosa que no se puede partir, creo yo, no ocupa nada ni es nada.
P.- Puede ser.

Z.- Piénsalo además de otra manera. Si hay tres cosas, hay siete, ¿no?
P.- ¿¡Cómo!?
Z.- Supón que haya estas tres, a, b y c. Entonces hay también la combinación de a y b, llamémosla, ab, y la de a y c, o sea, ac, y bc, y abc.
P.- Bueno, pero eso son otro tipo de cosas.
Z.- Ya, pero cuando yo te he preguntado por la cantidad de cosas que crees que hay, no te he pedido que distingas en tipos. Todos los tipos valen si hablamos de cantidad de cosas.
P.- Vale, hay siete.
Z.- ¿Siete? ¿Es que no sabes contar? ¿O no piensas contar a la combinación de a y ab, o sea, a(ab), y las demás combinaciones de las siete cosas?
P.- Ya veo a dónde vas. Entonces nunca podremos parar así tampoco.

Z.- Así es. Creo que en el siglo XIX vivirá un matemático alemán que demostrará de esa forma que nunca puede darse un conjunto que lo contenga todo, porque siempre el conjunto de todos los conjuntos que puedes hacer con los elementos de un conjunto dado, A digamos, es mayor que el propio A.
P.- Entonces ¿las cosas que hay son en número infinito?
Z.- Si tú puedes digerir eso…
P.- ¿Qué problema le ves, Zenón?
Z.- Hombre, dicen que la mitad de infinito es tan grande como infinito. La milmillonésima parte de infinito es igual de grande que el infinito…
P.- Todos los infinitos son iguales, claro.

Z.- Bueno, según ese matemático del que te he hablado, un tal Jorge Cantor, no es así, sino que hay unos infinitos más grandes que otros. Por ejemplo, el infinito de los números que resultan de una división sin resultado exacto, los Reales, como los llaman los matemáticos, tiene por lo menos un número que no está en la fila de los que llaman números naturales. Pero creo que con el infinito más pequeño tenemos ya bastante para inventar esos razonamientos absurdos inteligentes que vienes buscando.
P.- Tienes razón.
Z.- A mí el infinito no me parece una cantidad. No hay manera de partirlo en cachos más pequeños. Si te pones a caminar hacia el infinito, por mucho que andes estarás siempre a la misma distancia. Así que…
P.- ¡Menudo lío!
Z.- A eso venías, ¿no? ¿Estás ya satisfecho? Resumiendo, parece a la vez que, si hay muchas cosas, como dices tú (y aunque sean pocas), deben ser una cantidad finita e infinita, pero las dos opciones parecen absurdas.

P.- ¿Entonces, tú que piensas?
Z.- Puede que no hay ninguna, o que haya una sola cosa.
P.- ¿Eso te parece más lógico?
Z.- Que no haya ninguna, no me lo parece, la verdad.
P.- Claro, ya estás tú mismo, que eres una cosa, para desmentirlo.
Z.- No por eso, Calias. No me gusta razonar así.
P.- ¿Por qué?
Z.- Porque eso no es un razonamiento, sino un hecho, que estamos viendo. Y lo que nos estamos preguntando es si es lógico, no si nos parece que lo experimentamos, ¿entiendes?
P.- Creo que sí. ¿Entonces, que crees que es lógico?
Z.- Ninguna, no me parece. Porque, si hubiese ninguna, ya habría una, la nada o conjunto vacío.

P.- Pero el conjunto vacío no existe.
Z.- Pues para no existir está muy ocupado. ¿No sabes que estamos metiendo cosas en él continuamente? ¡Todo lo que no cabe en ningún otro! Fíjate, incluso, en que un lógico más o menos contemporáneo del matemático que te mencioné, definirá los números diciendo que el Uno es el conjunto que tiene como elemento al conjunto vacío, el Dos el que tiene como elementos al Uno y, por tanto, al Vacío, y así.

P.- Entonces ¿crees que hay una sola cosa?
Z.- Eso decía siempre mi maestro, el sapientísimo Parménides. Pero esa es una verdad, como también él decía, incomprensible para nosotros, los mortales. Sólo la diosa puede comprender que todo es uno y lo mismo, y que las diferencias son aparentes, porque en verdad el no-ser es nada, nada de nada, y sin el no-ser no podemos distinguir ni siquiera dos seres.
P.- Y ¿cómo dices que no podemos comprender lo que dice Parménides? A mí me acaba de parecer que lo he entendido, aunque me parece tan increíble que, como no me invites a un trago de esa buena cerveza que tienes en tu bodega…
Z.- Pues, aunque es muy lógico, también tiene su lado absurdo. Fíjate. Basta con que intente decirlo o pensarlo, que todo es uno, basta que lo diga o piense, te digo, para que me contradiga, porque la frase “todos es uno” (o “es uno”, si quieres acortarla) ya es más de uno, ya tiene por lo menos dos cosas, el ‘es’, y el ‘uno’. ¿Te das cuenta?
P.- Me doy.

Z.- Así que las cosas son muchas, infinitas, finitas, una y ninguna, y, a la vez, no son ni una ni muchas ni ninguna ni infinitas. ¿Me quieres decir ahora cuánto mide cada una?
P.- Eso lo dejamos para mañana, si no te parece mal. Por hoy, ya tengo bastante con una: al fin y al cabo, es como si me llevara infinitas ideas, o más bien ninguna, porque me has dejado la inteligencia más pelada que la cabeza de un etíope.
Z.- De acuerdo, mañana lo hablaremos. Ahora tómate conmigo una de esas cervezas que dices que tengo.

Ver también esta otra entrada sobre Parménides y esta entrada sobre Zenón de Elea

Zenón de Elea

Desde luego, no fueron pocos los que se burlaron de lo que dijo Parménides. Pero se puede estar seguro de que el que se burla de un razonamiento no es muy listo y, por supuesto, no es filósofo (salvo en el sentido en que todos, en el fondo, lo somos, pero, como dicen algunos creyentes, somos “no practicantes”): “la risa es el tributo que paga el ignorante”, creo que dijo alguien.

Los menos ignorantes intentaron refutar a Parménides en su terreno, es decir, en el de los razonamientos. Intentaron probar que de la hipótesis de Parménides se siguen absurdos enormes (que no voy a desvelar, porque espero que lo intentéis vosotros, en la anterior entrada y en ésta misma).

Aquí es donde entra en escena Zenón de Elea, quien, según se cuenta, fue amante de su maestro Parménides hasta que le creció demasiado la barba. Luego, el amor entre ellos fue más bien puramente intelectual.

Zenón era un discutidor incansable, y un tipo con mucha personalidad. Se cuenta que cuando un tirano (digamos, un dictador) se hizo con el poder de la ciudad, Zenón, junto con otros, intentó derrocarle. Como le cogieron, el tirano le pidió bajo amenazas que delatase a sus compañeros. Aquí las versiones varían. Según unas, Zenón le dijo: “te lo diré al oído”, y cuando el tirano se acercó, Zenón le arrancó la oreja de un bocado. Otra versión dice que Zenón se mordió la lengua tan fuerte que se la arrancó, y se la escupió al tirano.

Bueno, pues en el asunto del ser y el no ser, Zenón inventó (o descubrió) unos cuantos razonamientos que intentan reducir al absurdo la teoría contraria a la de su maestro Parménides. Supongamos que es verdad que hay muchas cosas, y que cambian, como nos dice el sentido común. Pues esto tendría consecuencias aún más absurdas que lo que dice Parménides de que Todo es Uno. Voy a recordar sólo unos ejemplos, los que parecen más fáciles y que afectan a la realidad (o, lógica) del movimiento.

Aquiles y la tortuga.- ¿Alcanzará Aquiles a la tortuga, si le deja una ventaja de salida en una improbable competición? Los ojos nos dicen que sí, pero la razón, dice Zenón, dice que no. Porque antes de alcanzar a la tortuga Aquiles tendrá que alcanzar el punto donde estaba ésta cuando sonó el pitido de salida. En ese tiempo la tortuga se habrá desplazado algo, por poco que sea. Ahora Aquiles tendrá que alcanzar el nuevo punto, pero entre tanto la tortuga habrá tenido tiempo de ir un poco más allá. Y esto será siempre así. A no ser que la tortuga se quede quieta, siempre habrá una distancia entre ambos, salvo que Aquiles lleve una velocidad infinita.



Otra forma de verlo.- Si quiero recorrer una distancia, antes tengo que recorrer la mitad de esa distancia, y antes de eso, la mitad de esa mitad, y antes, la mitad de la mitad de la mitad… Si, según dicen los matemáticos, la distancia entre dos puntos contiene infinitos números reales, siempre será divisible cualquier distancia, es más, siempre será infinitamente divisible. Entonces ¿cómo se puede avanzar lo más mínimo? ¡Pensad que, en el infinito, la mitad es igual de grande que la distancia completa (entre 0 y 1 hay infinitos números, tantos como entre 0 y cien mil, ni más ni menos)!

Habrá una suculenta gratificación (además de la satisfacción intelectual del asunto) para quien dé la mejor respuesta posible a estas paradojas.