-No des a la enseñanza una forma que les obligue a aprender por la fuerza.
-¿Por qué?
-Porque no hay ninguna disciplina que deba aprender el hombre libre por medio de la esclavitud. El alma no conserva ningún conocimiento que haya entrado en ella por la fuerza.
-Cierto.
-No emplees, pues, la fuerza, mi buen amigo, para instruir a los niños; que se eduquen jugando, y así podrás también conocer mejor para qué está dotado cada uno de ellos.
(Platón)

domingo, 27 de septiembre de 2009

Zenón de Elea

Desde luego, no fueron pocos los que se burlaron de lo que dijo Parménides. Pero se puede estar seguro de que el que se burla de un razonamiento no es muy listo y, por supuesto, no es filósofo (salvo en el sentido en que todos, en el fondo, lo somos, pero, como dicen algunos creyentes, somos “no practicantes”): “la risa es el tributo que paga el ignorante”, creo que dijo alguien.

Los menos ignorantes intentaron refutar a Parménides en su terreno, es decir, en el de los razonamientos. Intentaron probar que de la hipótesis de Parménides se siguen absurdos enormes (que no voy a desvelar, porque espero que lo intentéis vosotros, en la anterior entrada y en ésta misma).

Aquí es donde entra en escena Zenón de Elea, quien, según se cuenta, fue amante de su maestro Parménides hasta que le creció demasiado la barba. Luego, el amor entre ellos fue más bien puramente intelectual.

Zenón era un discutidor incansable, y un tipo con mucha personalidad. Se cuenta que cuando un tirano (digamos, un dictador) se hizo con el poder de la ciudad, Zenón, junto con otros, intentó derrocarle. Como le cogieron, el tirano le pidió bajo amenazas que delatase a sus compañeros. Aquí las versiones varían. Según unas, Zenón le dijo: “te lo diré al oído”, y cuando el tirano se acercó, Zenón le arrancó la oreja de un bocado. Otra versión dice que Zenón se mordió la lengua tan fuerte que se la arrancó, y se la escupió al tirano.

Bueno, pues en el asunto del ser y el no ser, Zenón inventó (o descubrió) unos cuantos razonamientos que intentan reducir al absurdo la teoría contraria a la de su maestro Parménides. Supongamos que es verdad que hay muchas cosas, y que cambian, como nos dice el sentido común. Pues esto tendría consecuencias aún más absurdas que lo que dice Parménides de que Todo es Uno. Voy a recordar sólo unos ejemplos, los que parecen más fáciles y que afectan a la realidad (o, lógica) del movimiento.

Aquiles y la tortuga.- ¿Alcanzará Aquiles a la tortuga, si le deja una ventaja de salida en una improbable competición? Los ojos nos dicen que sí, pero la razón, dice Zenón, dice que no. Porque antes de alcanzar a la tortuga Aquiles tendrá que alcanzar el punto donde estaba ésta cuando sonó el pitido de salida. En ese tiempo la tortuga se habrá desplazado algo, por poco que sea. Ahora Aquiles tendrá que alcanzar el nuevo punto, pero entre tanto la tortuga habrá tenido tiempo de ir un poco más allá. Y esto será siempre así. A no ser que la tortuga se quede quieta, siempre habrá una distancia entre ambos, salvo que Aquiles lleve una velocidad infinita.



Otra forma de verlo.- Si quiero recorrer una distancia, antes tengo que recorrer la mitad de esa distancia, y antes de eso, la mitad de esa mitad, y antes, la mitad de la mitad de la mitad… Si, según dicen los matemáticos, la distancia entre dos puntos contiene infinitos números reales, siempre será divisible cualquier distancia, es más, siempre será infinitamente divisible. Entonces ¿cómo se puede avanzar lo más mínimo? ¡Pensad que, en el infinito, la mitad es igual de grande que la distancia completa (entre 0 y 1 hay infinitos números, tantos como entre 0 y cien mil, ni más ni menos)!

Habrá una suculenta gratificación (además de la satisfacción intelectual del asunto) para quien dé la mejor respuesta posible a estas paradojas.

12 comentarios:

  1. hola Juan Antonio, buenas de nuevo.

    Puesto que mis conocimientos y mis razonamientos no alcanzan a los de Parménides y Zenón, en esta entrada me limitaré a parafrasear al matemático escocés James Gregory (1638-1675):
    "Una suma de infinitos términos puede tener un resultado finito. Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que lo separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son cada vez más y más pequeños, y su suma da un resultado finito, que es el momento en que alcanzará a la tortuga".

    Para más información acerca de este tema: http://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas_de_Zen%C3%B3n

    PD: Me siento sucio al hacer esto. jejeje.

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  2. Anónimo,
    ¿por qué te sientes sucio? Lo único “sucio” es la ignorancia.

    Si crees y quieres decir que las paradojas de Zenón están solucionadas al día de hoy, estás equivocado. Una prueba de ello es los miles de intentos de solución que se le han dado y se le siguen dando (en la propia referencia que nos das no les basta con una, sino que citan tres o cuatro).
    Usando argumentos de autoridad podrías remitirte a muchos matemáticos y filósofos que no lo creen así. Matemáticos recientes como Poincaré o Browver (e “infinitos” otros) han rechazado el concepto de infinito, como algo muy poco claro e indeseable en matemáticas (sus referencias están también en wikipedia, por ejemplo http://es.wikipedia.org/wiki/Intuicionismo). Uno de los creadores del cálculo infinitesimal, Leibniz, rechazó el concepto de infinito que su propia teoría parecía implicar, y con él muchos grandes matemáticos del siglo XIX y XX; Hilbert, uno de los matemáticos más grandes del siglo XX, en su teoría metamatemática (es decir, matemática de la matemática) se exigió usar sólo procedimientos constructivistas finitos, para evitar las paradojas del infinito. Y hay un teorema fundamental de Gödel (el teorema más importante de la lógica moderna) que prueba que cualquier lenguaje matemático que contenga el más pequeño de los infinitos (el de los números naturales) es “indecidible”, es decir, que produce teoremas de los que no se puede demostrar si son verdaderos o falsos. Toda la lógica del siglo XX se ha movido al impulso de intentar evitar las paradojas en teorías de conjuntos, muchas de ellas relacionadas con el infinito.

    Pero, en lugar de recurrir a las autoridades, sería mejor referirnos a nosotros mismos, a lo que podemos entender nosotros, modestas gentecillas de a pie, porque de nada sirve saber que otros lo saben (como en la religión) si tú no comprendes lo que saben. Así que te voy a preguntar (y pregunto a los que estén leyendo) si entienden verdaderamente el infinito, o que la mitad del infinito tiene el mismo número de números que el todo, o que no es par ni impar, etc.
    ¿Te (os) resulta comprensible que la cantidad de números que hay entre 0 y 1 sea la misma que entre 0 y 5 (que tengan la misma cardinalidad?

    Dice James Gregory (intentando “solucionar” una de entre las muchas paradojas de Zenón –deberías encontrar solución para todas, claro-) que la suma de números infinitos puede dar un resultado finito. Ahora te pregunto yo: ¿crees que alguien ha hecho alguna suma de números infinitos? ¿Alguien ha recorrido pi? Aunque estuviésemos una eternidad calculándolo no acabaríamos nunca, por definición. Piénsalo. No podría conocerlo “ni Dios”, literalmente. Cuando queremos expresar un número infinito, usamos unos puntos suspensivos (por ejemplo, 3’14……..) que nadie a recorrido ni puede recorrer jamás. ¿Qué puede objetársele, entonces, a la fe?

    (sigue en el siguiente comentario, que no me cabe todo el rollo en uno)

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  3. (sigo, y acabo)

    Mira, hoy al salir de clase venía hablando de Zenón y sus paradojas con un alumno y nos hemos encontrado con el profesor de Física, y hemos hablado con él del asunto. Nos ha dicho, como era de esperar, lo que tú: que una suma de números infinitos puede dar un resultado finito, pongamos, 1. Le he preguntado ¿un qué? Ha dicho: una unidad, de la medida que se tome. Claro, pero –le he dicho y ha estado de acuerdo- esa unidad que tomamos no es una verdadera unidad porque está compuesta de partes. Hacemos abstracción de eso y la tomamos como unidad, pero no es tal. Una verdadera unidad no debería ser divisible, ni tener, por tanto, extensión (digo yo). De hecho, esa unidad de la que habla el físico (por ejemplo, un metro( tiene la misma cardinalidad que tres veces ella. Entonces el profe de Física ha afirmado que “es que la distancia no es una cantidad de números o puntos”. ¿Qué es, entonces, una distancia?, le he preguntado. Como está muy puesto, ha intentado recurrir a una definición axiomática (es decir, “por huevos”), de la forma: “Si A está a x distancia de B, entonces B está a x distancia de A, etc etc”. Es decir, ha intentado una formalización (o arreglo) de lo que todos sabemos que es distancia. Pero no ha definido la idea de distancia, ni podría haberlo hecho sin recurrir al concepto de espacio o extensión, que es donde se da el problema. Ha reconocido, honestamente, que es un gran problema (él ya lo sabía) y ha mencionado el teorema de Gödel, etc.

    Dime (o decid, el que quiera) qué opina(i)s de lo siguiente. ¿Crees que el espacio (una línea, por ejemplo) está formada por segmentos, es decir, espacios, siempre divisibles, o bien por puntos indivisibles? Si está formado por segmentos, y estos a su vez por segmentos, siempre divisibles, (¡exactamente igual de divisibles, independientemente de su tamaño!) ¿comprendes tú el concepto de distancia? Y, si no está formado por segmentos, sino por puntos, estos tendrán que ser inextensos ¿no?, porque en otro caso serían divisibles. Ahora, dime que comprendes que juntando muchos puntos inextensos, formas un espacio extenso, o sea, que 0+0+0+0+… = 1

    Los matemáticos del tipo de Gregory intentan “solucionar” el problema, como dice García Calvo, “andando”, es decir, creyéndose ellos mismos lo que les va a dar la solución. Claro que si alguien puede creerse que hace la suma de tres números infinitos (por ejemplos, 3’3333…. + 3’3333… +3’3333…) no le costará mucho creerse que eso de 1. El problema está en creerse algo parecido.

    Puede que no poder comprender ese tipo de soluciones no sea una virtud del filósofo, sino una enfermedad, que le impide dedicarse a la ciencia y avanzar. Pero el filósofo es, como decía Wittgenstein, el que, cuando un niño le dice al profesor de matemáticas que no entiende lo más elemental (como que 1+1=2) el filósofo le dice, haces bien en preguntar, no se entiende. Él dice que lo entiende, pero la verdad es que ni lo piensa.

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  4. Estoy un poco decepcionado con mi comentario anterior, así que voy a intentar superarme, o fracasaré estrepitosamente.

    He de reconocer que la sensación que tengo ahora mismo es de que este tema me supera. Mi “materia gris” no llega a comprender algo tan complejo como el infinito, y es que a lo mejor la pregunta es la errónea y por eso no obtengo respuesta, pero también tengo un sentimiento de masoquismo por intentar buscar una respuesta a semejantes preguntas.

    Por nuestra visión del espacio-tiempo, es decir, como captamos nosotros mediante nuestros sentidos el espacio-tiempo, es razonable pensar que cualquier materia que ocupe lugar podrá ser dividida en unidades más pequeñas sin ningún tipo de restricción o límite (hace años se pensaba que el átomo era la unidad más pequeña, el límite. Esa afirmación es absurda a día de hoy).

    Para nosotros resulta absurdo pensar que algo inextenso pueda llegar a ser extenso simplemente por el hecho de ser sumado.

    Pero, ¿algo inextenso puede llegar a ser extenso?, ¿hay un límite a la hora de dividir la materia o el tiempo?, ¿son nuestros sentidos los que nos entorpecen a la hora de intentar razonar?, ¿puedo chasquear los dedos y que alguien me responda a estas preguntas?, ¿mis dedos llegarían a chasquearse, o no serían capaces de recorrer un espacio infinito para juntarse?

    PD: Juan Antonio, TE ODIO.

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  5. Anónimo odiante,

    ¡ya sabía yo que esto no me iba a traer más que problemas, pero… en fin!

    Antes de nada, una pequeña cosa: no vas a fracasar estrepitosa (ni silenciosa-) mente. Cada vez que vemos algo, aunque sea una dificultad que no veíamos, avanzamos en ese morbo que dices padecer (y que entiendo y admiro). Tu anterior comentario estaba muy bien, y éste también, lo cual no quiere decir que estén en lo cierto, o que los demás lo veamos así. Quien fracasa aquí es quien no lo intenta por miedo a “fracasar”. Aunque suene empalagoso, la razón es de todos, no del que, por los motivos que sea, llega a encontrarse algo buscando en ella.

    Dices que

    Por nuestra visión del espacio-tiempo, es decir, como captamos nosotros mediante nuestros sentidos el espacio-tiempo, es razonable pensar que cualquier materia que ocupe lugar podrá ser dividida en unidades más pequeñas sin ningún tipo de restricción o límite


    Esto, para empezar, me parece muy chocante. Mi experiencia empírica es, al contrario, que no soy capaz de dividir las cosas más allá de un punto. Todos hemos intentado cortar una loncha todavía más fina. Y nadie cree que, físicamente hablando, vaya a trazar una circunferencia perfecta.

    No, quien nos dice que una extensión debe ser divisible no es precisamente los ojos ni las orejas, sino la razón. Es más, podría suceder que las cosas fuesen indivisibles físicamente (que hubiera átomos materiales de verdad), pero seguirían siendo divisibles “lógicamente”, porque cualquier cosa que sea internamente plural tiene que tener partes, y lo que no tenga partes, tiene que ser absolutamente indivisible.

    Así que, lo siento, pero creo que vas mal encaminado al buscar soluciones físicas de problemas matemáticos y lógicos. La matemática no es física, aunque se aplique a la física. Precisamente en física el infinito no aparece nunca por ninguna parte, porque lo que llegamos a hacer siempre son aproximaciones, cada vez más precisas, pero siempre a la misma distancia de la precisión infinita: infinita.

    Ahora bien, que la matemática no sea física no quita para que lo que nos dice la física sea ininteligible desde un punto de vista racional. Y eso es lo que quiere decir el pobre Zenón, que lo que te dicen los ojos no encaja con las razones.

    ¿Está mal formulada la pregunta? Busquemos entonces la formulación correcta. Wittgenstein creía que todos los problemas filosóficos son fruto de preguntas incorrectas. Tal vez…

    Sigue chasqueando los dedos y las materias grises. ¿Qué tienes mejor que hacer?

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  6. javier C.
    Bueno respecto a la paradoja esta pienso que esta mal planteada.
    La principal razon es que un distancia entre dos personas(real) no puede dibujarse como un segmento, porque realmente esa distancia no sabemos con certeza cuanto mide(es mas no sabemos ni siquiera lo que es distancia), entonces al representarlo lo que estamos haciendo es coger un espacio entre dos objetos(algo abstracto) y transformarlo en una recta ¿no es esto un intento de coger un sistema de referencia? De esta forma es imposible de solucionarlo porque siempre sera divisible.

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  7. Vale, Javier, entonces según tú ¿cómo tenemos que pensar las distancias, si el recurso matemático de toda la vida (la geometría) es inútil o perjudicial? ¿Qué es una distancia, si no es un cacho de espacio? (Si miro a la física veo medir las distancias mediante espacios, líneas rectas de la geometría, vamos)

    La paradoja no estaría mal planteada, lo que estaría mal planteada es la realidad ¿no? O, al menos, nuestro conocimiento convencional o "natural" de la realidad.

    SIgue intentando, y gracias por tu colaboración.

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  8. Hasta que punto ha llegado la educación a ser tan perjudicial para un individuo, que ya no es capaz de distinguir la razón de sus sentidos.

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  9. Entiendo el dasagrado que puede producir todo esto. ¿Cómo un chiflado de hace dos mil seiscientos años va a venir a ponerle pegas a la realidad?............

    Pero, por si alguien está interesado:

    Aunque nos estamos fijando en una (o dos) de las paradojas de Zenón, para no simplificar la cosa recordaré algunas otras de las que propuso, tan inteligentes y odiosas como la de Aquiles.

    Una, también contra el movimiento, se enuncia de forma muy sencilla. ¿Dónde se mueve la cosa que se mueve? No se mueve ni donde está en este momento (porque si está ahí, está quieta en ese punto) ni donde aún no está (porque no está ahí). Pero si no se mueve donde está ni donde no está, no se mueve.

    Esta paradoja nos hace reflexionar sobre la naturaleza del INSTANTE, que es el punto del tiempo. ¿Tienen o no duración los instantes? Si no la tienen ¿cómo puede el tiempo estar formado de instantes sucesivos? Si la tienen ¿son instantes, o son periodos de tiempo, divisibles en instantes?

    Otra paradoja, más sesuda, sobre (o contra) la pluralidad:

    Si hay varias cosas ¿cuántas hay? Las habrá en número finito e infinito a la vez. En número finito porque tienen que ser todas las que son, ni más ni menos, o sea, un número exacto.., pero el infinito no es ningún número exacto, ni llega nunca a serlo Todo: siempre hay más.
    Por otra parte el número de cosas tiene que ser infinito, porque siempre es posible encontrar una nueva a partir de las antiguas. Si, pro ejemplo, tengo A y B, tengo también la cosa AB, llamémosla, C, y la cosa AC, y BC, y ABC…
    (Hay un teorema en matemáticas, de Cantor, que dice que el conjunto potencia de un conjunto (o sea, el conjunto de sus subconjuntos) es siempre mayor que el conjunto del que es potencia. Luego, el conjunto potencia de Todo es mayor que Todo.

    Y podéis encontrar otras buscando a Zenón (si sois capaces de recorrer la distancia que os separa de la biblioteca o del ordenador, claro está).

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  10. hola, la verdad esque lo que díce zenón es muy logico y razonable, supongamos que este en lo cierto, que no exista movimiento alguno.
    Y ahora imaginemos que por algun motivo nazca una persona capaz de controlar perfectamente su mente. Sería increible porque se daria quenta de que todo lo que ven los demas no es real. Sería el primero en salir realmente de esta caverna de ilusiones en la que vivimos. Y este ser, (y digo ser, porque doy por supuesto que un ser con tal inteligencia no se le puede llamar persona) seria capaz de estar en el lugar que quisiera y cuando quisiera, lo controlaria todo, el tiempo, el espacio...
    Quizas estemos hablando entonces,(y creo que todos sabeis lo que estoy pensando) de un Dios.


    Vamos a donde quiero llegar esque, igual en algun sitio(o sin sitio) hay un ser verdaderamente inteligente(dios)controlandonos a todos y haciendonos creer que el mundo en el que vivimos es el real.

    Algo asi como un ordenador gigante, en el que todos estamos dentro.

    Sinceramente, y aunque vaya contra mi logica, prefiero pensar que esto no es asi.

    Porque tengo 18 años y todavia no me quiero volver loco.

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  11. Javier,
    has entendido cojonudamente bien a Parménides y Zenón.
    Lo que me temo es que no tardarás otros 18 años más en caer (lo siento).

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